| Referate | Director web | Adauga link | Contact |



NOŢIUNI DE BAZĂ

Clasa a VII-a

Algebră




  • Mulţimea numerelor întregi. Mulţimi. Produs cartezian
    • vom numi produs cartezian al mulţimilor A şi B notat A×B, mulţimea perechilor ( a,b ), unde a є A şi b є B
  • Relaţiile  “ <”, “”, “”, “>” între numerele raţionale
    • un număr raţional a este mai mare decât un număr raţional b, ceea ce se scrie a > b, dacă există c є Q astfel încât a = b+c
    • pe axa numerelor, numărul raţional maimmare se va afla la dreapta celui mai mic
    • pentru a compara două numere raţionale se vor aduce la acelaşi numitor şi se vor compara numărătorii astfel obţinuţi
  • Puterea unui număr raţional
    • se va folosi notaţia : a - = 1/a
    • regulide calcul cu puteri :
  1. a m+a n= a  m+n
  2. (a m)n = a m×n
  3. a m : a n = a m-n
  4. ( a × b )n = a n × b n
  5. ( a/b ) n = a n / b n
  • Ecuaţii în Q
    • se numeşte ecuaţie propoziţia cu o variabilă în care variabila trebuie să verifice o egalitate
    • se numeşte soluţie a ecuaţiei un număr sau mai multe numere care puse în locul variabilei formează o propozitie adevărată
    • forma generală a unei ecuaţii de gradul I cu o necunoscută este : ax + b = c, unde a, b, c є Q
    • rezolvarea ecuaţiei înseamnă găsirea soluţiilor : ax + b = c  <=> ax = c ­ b <=> x = c ­ b/a , a 0
  • Numere reale
    • se numesc numere iraţionale acele numere care scrise zecimal au o infinitate de cifre în dreapta virgulei care nu se repetă periodic
    • definim mulţimea numerelor reale ca fiind reuniunea dintre mulţimea Q a numerelor raţionale şi mulţimea numerelor iraţionale
    • reguli de calcul în R :
  1. ab + cb =( a+c )b
  2. ab cb = (a c)b
  3. a ∙√b = a b          
  4. a : b = a:b
  • scoaterea factorilor de sub radical se efectuează folosind a2 =|a| => a2b=|a|b
  • introducerea sub radical se efectuează astfel :
  1. a = a
  2. ab = a2 b
  • se va raţionaliza numitorul prin amplificarea fracţiei  a/b = ab /b
  • pentru ridicarea la putere a unui număr real se va ţine seama de (a) n=a n
  • Calcularea mediilor
    • Media aritmetică a numerelor a, a1, a2 ,... a este :    ma = a+a1+a2... an / n
    • Media aritmetică ponderată a numerelor  a, a1, a2 ,... a având ponderile p, p1, p2, ...pn  este :   m a p = a1 p1 + a2 p2 +...+an pn / p1+p2 +... +pn
    • Media geometrică (proporţională) a numerelor pozitive a1 şi a2  este :

          mg =a1 a2

  • Calcul algebric
    • doi termeni sunt asemenea dacă au aceeaşi parte literară. La litere identice corespunzând exponenţi identici
    • adunarea şi scăderea se poate efectua numai între termeni asemenea
    • pentru a efectua înmulţirea se ţine seama de :
          1. a (b+c) = ab + ac
          2. (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
    • formule de calcul prescurtat:
      1. (a + b)2 = a2 +2ab + b2  
      2. (a b)2 = a2   - 2ab + b2
      3. (a b)(a + b) = a2 b2                              
      4. (a + b +c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
  • pentru a raţionaliza fracţia a / bc + de, se va amplifica cu bc de
  • pentru a efectua împărţirea se ţine seama de : (a + b + c): d = a:d+b:d+c:d
  • Descompunerea în factori
  • metode de descompunere :
  1. scoaterea factorului comun:
  • a b + a c = a (b+c)
  • a b - a c = a (b - c)
  1. restrângerea pătratului unei sume de doi termeni:
    • a² + 2ab + b² = (a+b)²
    • a²  -  2ab + b² = (a - b)²
  2. diferenţa pătratelor:
    • a² - b² = (a b)(a+b)
  3. alte metode:
    • c(a+b)+d(a+b)= (a+b)(c+d)
    • x² +x(a+b)+a b = (x+a)(x+b)
  • Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
    • forma generală a unei ecuaţii de gradul I cu două necunoscute este   ax+by+c = 0
    • o ecuaţie de radul I cu două necunoscute are o infinitate de soluţii sub forma perechilor (x; -c-ax /b)
    • mulţimea punctelor din plan care sunt soluţiile unei ecuaţii de gradul I cu două necunoscute formează o dreaptă numită dreapta soluţiilor ecuaţiei
      • Sisteme de ecuaţii
        • forma generală a unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute este :

       ax+by = c            unde  a, b, a`, b` sunt coeficienţi şi c, c` termeni liberi

          a`c+b`y = c`

  • se numeşte soluţie a unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute o pereche de forma (x, y)є R×R care verifică ambele ecuaţii ale sistemului
  • în rezolvarea sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute se pot întâlni  următoarele situaţii:
    1. sistemul are o unică soluţie
    2. sistemul nu are soluţii(sistem incompatibil)
    3. sistemul are o infinitate de soluţii(sistem nedeterminat)


Geometrie


  • Patrulatere. Paralelogramul
    • se numeşte paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse paralele două câte două
    • proprietăţile paralelogramului:
      1. laturile opuse sunt congruente două câte două
      2. unghiurile opuse sunt congruente două câte două
      3. unghiurile consecutive sunt suplementare
      4. diagonalele se intersectează una pe cealaltă în părţi congruente
  • Linia mijlocie într-un triunghi
  • segmentul care uneşte mijloacele a două laturi ale unui triunghi senumeşte linie mijlocie
  • într-un triunghi segmentul care uneşte mijloacele a două laturi este paralel cu cea de-a treia latură şi are lungimea jumătate din lungimea acesteia
  • într-un triunghi ABC, paralela prin mijlocul D al laturii [AB] la latura [BC] conţine mijloul E al laturii [AC] şi avem DE=1/2 BC
    • Dreptunghiul
      • se numeşte dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept
      • proprietăţi caracteristice:
        1. are toate unghiurile congruente, deci drepte
        2. are diagonalele congruente
          • un patrulater convex este dreptunghi dacă are toate unghiurile congruente
          • paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi
            • Rombul
  • se numeşte romb un paralelogram care are două laturi consecutive congruente

              -   proprietaţi caracteristice:

      1. toate laturile rombului sunt congruente
      2. diagonalele rombului sunt perpendiculare între ele
      3. diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului


  • patrulaterul convex cu toate laturile congruente
  • paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb
  • paralelogramul în care o diagonală este bisectoarea unui unghi este romb
  • Pătratul
  • se numeşte patrat un dreptunghi care are două laturi consecutive congruente
  • pătratul are toate proprietăţile dreptunghiului şi rombului
  • într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei
  • dacă într-un triunghi o mediană are lungimea cât jumătatea lungimii laturii care îi corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic




            • Trapezul
              • se numeşte trapez patrulaterul care are două laturi paralele şi celelalte două neparalele
              • un trapez este isoscel dacă laturile neparalele sunt congruente
              • un trapez este dreptunghic dacă o latură neparalelă este perpendiculară pe bază
              • într-un trapez unghiurile alăturate unei baze sunt congruente dacă şi numai dacă trapezul este isoscel
              • într-un trapez diagonalele sunt congruente dacă şi numai dacă trapezul este isoscel
                • Linia mijlocie în trapez
                  • segmentul care uneşte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeşte linie mijlocie în trapez
                  • linia mijlocie a trapezului este parallă cu bazele şi are lungimea jumătate din suma lungimilor bazelor
                  • lungimea segmentuui inclus în linia mijlocie a unui trapez cuprins între intersecţiile sale cu diagonalele este egală cu smidiferenţa lungimilor bazelor
  • Arii
    • aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungime şi lăţime
    • aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii
    • aria unui romb este egală cu semiprodusul lungimii diagonalelor
    • aria unui trapez este egală cu produsul dintre semisuma lungimilor bazelor sale şi lungimea înălţimii
      • Relaţii metrice. Teorema lui Thales
        • o paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale
        • mai multe paralele determină pe două secante segmente proporţionale
        • într-un triunghi o bisectoare determină pe latura opusă două segmente proporţionale cu celelalte două aturi
        • dacă o dreaptă determină determină pe laturile unui triunghi segmente respectiv proporţionale cu aceste laturi atunci această dreaptă este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului
          • Asemănarea triunghiurilor
    • două triunghiuri se numesc asemenea dacă au toate laturile respectiv proporţionale şi unghiurile opse lor respectiv congruente
    • teorema fundamentală a asemănarii:

O paralelă dusă la una din laturile unui unghi formează cu celelalte                 sau cu prelungirile lor un unghi asemenea cu cel dat.

    • cazurile de asemănare:
  1. dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea
  2. dacă două triunghiuri au câte un unghi congruent şi laturile ce-l formează respectiv proporţionale, atunci ele sunt asemenea
  3. dacă două triunghiuri au cele trei laturi respectiv proporţionale, atunci ele sunt asemenea
    • Relaţii metrice în triunghiuri dreptunghice
      • în triunghiul dreptunghic ABC, m A=90º, AD înălţime, D є (BC) se cunosc următoarele relaţii:
        1. teorema înălţimii:                   AD² = DB · DC
        2. teorema catetei:                      AB² = BD · BC

                                                                 AC² = CD · BC

            3.  teorema lui Pitagora:            BC²  = AB²+AC²

      • reciproca teoremei lui Pitagora :

     Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.

  • Elemente de trigonometrie
    • într-un triunghi dreptunghic se definesc:
    • sinusul unui unghi ascuţit este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea ipotenuzei
    • cosinusul unui unghi ascuţit este egal cu raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea ipotenuzei
    • tangenta unui unghi ascuţit este egală cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea catetei alăturate
    • cotangenta unui unghi ascuţit este egală cu raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea catetei opuse
    • se vor reţine următoarele relaţii:

               sin² x + cos² x = 1                          sin (90º - x)= cos x

        tg x = sin x / cos x = 1/ ctg x                cos (90º - x)= sin x


tg(90º - x)= ctg x

                                                 ctg(90º - x)= tg x


  • Cercul
    • se numeşte cerc locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix numit centru
    • se numeşte coardă un segment cu capetele pe cerc
    • se numeşte diametru coarda care conţine şi centru cercului(capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse)
    • un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeşte unghila centru. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului mic cuprins între laturile unghiului
    • în acelaş cerc sau în cercuri congurente, la arce congurente corespund coarde congurente
    • perpendiculara din centrul cercului pe coardă înjumătăţeşte coarda
    • în acelaş cerc sau în cercuri congurente, dacă două coarde sunt congurente, atunci ele se află la aceeaşi distanţă de centru şi reciproc
    • o dreaptă poate să intersecteze un cerc astfel:
      1. într-un punct şi se numeşte tangentă la cerc
      2. în două puncte şi se numeşte secantă
    • tangenta la cerc este perpendiculară pe raza cercului în punctul de contact
    • se numeşte unghi înscris în cerc, unghiul cu vârful pe cerc şi care are ca laturi două coarde. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale
    • măsura unui unghi cu vârful pe cerc care are o latură coardă şi cealaltă latură tangentă la cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturi
    • toate unghiurile înscrise într-un semicerc sunt unghiuri drepte
    • dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tangente la acest cerc cu următoarele proprietăţi:
      1. tangentele sunt congruente(segmentele cu capetele în punctul de tangenţă şi punctul exterior de unde se duce tangenta)
      2. semidreapta dusă din punctul exterior cnţine şi centtrul cercului este bisectoarea unghiului format de tangente
        • se numeşte patrulater înscris, un patrulater care are vârfurile pe cerc
        • un patrulater se numeşte circumscris dacă laturile sale sunt tangente unui cerc
        • patru puncte se numesc conciclice dacă aparţin unui cerc
        • un patrulater se numeşte inscriptibil dacă vârfurile sunt puncte conciclice
        • un patrulater în care unghiurile formate de diagonale cu două laturi opuse, sunt congruente, este patrulater inscriptibil
        • un patrulater este inscriptibil dacă şi numai dacă unghiurile opuse sunt suplementare



          • Poligoane regulate
            • se numeşte poligon convex, un poligon în care oricare ar fi o latură a sa, toate vârfurile nesituate pe latura considerată se află de aceeaşi parte a dreptei în care este inclusă latura respectivă
            • suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este (n 2)·180º
            • se numeşte poligonregulat un poligon convex cu toate laturile sale congruente şi toate unghiurile sale congruente
            • orice poligon regulat se poate înscrie în cerc
            • se numeşte apotemă a unui poligon regulat segmentul care uneşte mijlocul unei laturi a poligonului cu centru cercului circumscris acelui poligon
            • între latura, apotema, aria poligonului şi raza cercului circumscris acelui poligon există relţiile:
    • pentru triunghiul echilateral:

a3 = l33/6  = R/2

A3 = l3²3/4 = 3R²3/4


    • pentru pătrat:

l4 = R2

a4 = l4 / 2 = R2 /2

A4 = l4 ² = 2R²


    • pentru hexagonul regulat:

l6 = R

a6 = l63 /2 = R3 /2

A6 = 60 · l6² 3 /4 = 3R²3

    • lungimea unui cerc este 2πR
    • aria unui cerc este πR²
    • se numeşte sector circular porţiunea din interiorul unui cerc cuprinsă între două raze
    • aria unui sector circular este  πuºR² /360º , unde uº este măsura arcului cuprins între razele sectorului
    • lungimea unui sector circular corespunzător unui arc de cerc având măsura de  uº este 2πRuº /360º