| Referate | Director web | Adauga link | Contact |



Pregatire pentru teza


Perpendicularitate

       Def. :  Doua drepte sunt perpendiculare daca determina un unghi drept.

       Not. : d1                    d2        

       Desen. :               

                                                       d2




                                       

                                       d1

       




       Def.: Prin distanta de la un punct la o dreapta se intelege distanta de la punct la piciorul perpendicularei din punct pe dreapta.


Cazurile de congruenta pt. triunghiurile dreptunghice

  1. Cazul C.C (cateta-cateta) : Doua derptunghiuri care au catetele respectiv congruente sunt congruente.
  2. Cazul C.U. ( Cateta-unghi) : Doua dreptunghiuri ce au cate o cateta si unghiul ascutit respective congruente sunt gongruente.
  3. Cazul I.U .(ipotenuza- unghi) : Daca doua dreptunghiuri care au ipotenuza si unghiul ascutit respecttiv congruente sunt coingruente.
  4. Cazul I.U. (ipotenuza-cateta) : Daca doua dreptunghiuri care au ipotenuza si cate o cateta respective congruente sunt congruente.



       P   : Punctele de pe bisectoarea unui unghi se afla la aceeasi distanta fata de laturile unghiului.

       P   : Daca un punct situate in interiorul unghiului se afla la distante egale de laturile unghiului atunci el este situate pe bisectoarea unghiului.

       T   : Bisectoarele unghiurilor unui tringhi sunt concurente.



MEDIATOAREA

       Def. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculara pe segment in mijlocul sau.



                      d


       A        M        B




    d= mediatoarea lui [AB]

    M= mijlocul lui [AB]   => M E d  , d         AB

P : Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de capetele segmentului.

Reciproc: Orice punct egl dapartat de capetele unui segment se afla pe mediatoarea segmentului.

T: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.


Inaltimile unui tringhi


Def. :  Inaltimea unui triunghi este perpendiculara din varf pe latura opusa.

T. : In orice triunghi inaltimile sunt concurente. Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste ortocentru.

Drepte taiate de o secanta


Def. : O dreapta este secanta a altor doua drepte daca intersectia dreptei date cu cele doua drepte este formata din doua puncte diferite.

Unghiuri: alterne interne, alterne externe, interne de aceeasi parte, externe de aceeasi parte, corespondente.


DREPTE PARALELE

Def. ; Doua drepte sunt paralele daca sunt situate in acelasi plan sin u au nuci un punct comun.

Axioma paralelelor: (Euclid) : Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singura paralela la dreapta data.

Tranzitivitatea paralelismului :  Doua drepte paralele cu a treia dreapta sunt paralele intre ele.


Drepte paralele taiate de o secanta

Teorema unghiurilor alterne interne: Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca unghiurile alterne interne care se formeaza sunt congruente.

Consecinte: 1. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca unghiurile externe sunt congruente.

                 2. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca unghiurile corespondente sunt congruente.

                 3. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca unghiurile interne de aceeasi parte sunt suplementare.

                 4. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca unghiurile externe de aceeasi parte sunt suplementare.


Mediana

Def. : Se numeste mediana segmentul determinat de un varf al triunghiului si mijlocul laturii opuse.


       A

       AD- mediana





       B        C

       D

       Medianele unui triunghi  sunt concurente. Punctul de intersectie al medianelor, G, se numeste centru de greutate al triunghiului dat.

       

       T. : Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare.

       Teorema paralelelor taiate de paralele: Doua drepte paralele intersectate de alte doua drepte paralele determina  segmente congruente.

       Teroema paralelelor echidistante: Trei sau mai multe drepte paralele echidistante determina pe orice secanta segmente congruente.



Linia mijlocie

       Def. : Se numeste linie mijlocie a unui triunghi segmentul determinat de mijloacele a doua laturi ale triunghiului.


       A



       M              N




       B               P        C


       T. : Linia mijlocie determinata de doua laturi ale unui triunghi este paralela cu a treia latura si are lungimea jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.

       Reciproc : Paralela prin mijloc unei laturi la una din laturile unui triunghi trece prin mijlocul laturii ramase.



Unghi exterior unui triunghi

       Def. : Numim unghi exterior al unui triunghi unghiul format de o latura a triunghiului si prelungirea altei laturi.



       A






       C 2        D

       B                               1


       E


       Obs. : Unghiul exterior este adiacent si suplementar cu unghiul triunghiului.

       Teorema unghiului exterior: Masura unui unghi exterior al unui triunghi este egala cu suma masurilor unghiurilor neadiacente cu el.

       Obs. : Un unghi exterior este mai mare decat oricare din unghiurile neadiacente cu el.


Medianele unui triunghi

       Centrul de greutate este situat pe fiecare mediana la o treime de baza si doua treimi de varf.


Triunghiul isoscel

       Def. : Triunghiul isoscel este triunghiul care are doua laturi congruente.

       A






       B        C


       Proprietati: 1. Un triunghi este isoscel daca si numai daca unghiurile de la baza sunt congruente.

                        2. Intr-un triunghi isoscel inaltimea corespunzatoare bazei este si mediana si bisectoare si mediatoare.

       Reciproce : 1. Daca intr-un triunghi o mediana este si inaltime atunci triunghil este isoscel.

                         2. Daca intr-un triunghi o bisectoare este si mediana atunci triunghiul este isoscel.


Triunghiul echilateral

       Def. : Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile congruente.

       P. : Triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente, fiecare, avand masura de 60°.

       Reciproc : Daca un triunghi are toate unghiurile congruente atunci triunghiul este echilateral.

       Obs. : Orice triunghi echilateral poate fi considerat triunghi isoscel avand baza oricare din cele 3 laturi. => Proprietatile triunghiului isoscel raman valabile, mai mult, au loc pentru oricare din cele 3 laturi.

       P. : Un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este echilateral.


Triunghiul dreptunghic

       Def Triunghiul care are un unghi drept se numeste dreptunghic. Laturile care formeaza unghiul drept se numesc catete. Latura opusa unhiului drept se numeste ipotenuza.

       Triunghiul dreptunghic isoscel are catetele congruente.


   

       A




                


       B        C



       Proprietati: 1. Intr-un triunhi dreptunghic suma masurilor unghiurilor ascutite este de 90°.

                        2. Intr-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile ascutite au fiecare 45

                        3. Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei.

       Reciproce: 1. Daca un triunghi dreptunghic are un unghi ascutit de 45 atunci triunghiul este isoscel.

                        2. Daca intr-un triunghi lungimea unei mediane este jumatate din lungimea laturii corespunzatoare atunci triunghiul este dreptunghic.

       Teorema 30-60-90 : Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30 este jumatate din ipotenuza.

       Reciproc : Daca intr-un triunghi dreptunghic o cateta este jumatate din ipotenuza atunci unghiul opus catetei respective este de 30.


Relatii intrte laturile si unghiurile unui triunghi










       P. : In orice triunghi unghiului mai mare i se opune latura mai mare.

       Reciproc : In orice triunghi laturii mai mare i se opune unghiul mai mare.

       Caz particular : 1.In orice triughi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare decat lungimea oricarei alte catete.

                               2. Dintre doua oblice este mai mare cea care are piciorul mai departat de piciorul perpendicularei.

       P. : In orice triunghi suma lungimilor a doua laturi este mai mare decat lungimea celei de-a treia laturi.



Poligoane

       Def. : Fiind date punctele A1,A2,A3,…….,An se numeste linie poligonala reuniunea segmentelor.

       Ex. :


       A1



         A4        A4



       A2

A3


Linia poligonala : - deschisa

  • inchisa

       Def. : Se numeste o linie poligonala inchisa care are doua laturi vecine cu suporturi diferite si orice doua laturi nevecine disjuncte.

       Suportul laturii (A3,A4) = dreapta A3, A4

       Clasificare :          -   3 laturi => triunghi

  • 4 laturi => patrulater
  • 5 laturi => pentagon
  • 6 laturi => hexgon
  • 8 laturi=> octogon


Patrulatere

               






       Def. : Se numeste patrulater convex patrulaterul cu proprietatea ca pt orice latura fixate celelalte doua varfuri se afla de o parte si de alta a laturii fixate.

       P. : Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360.



Patrulatere speciale. Paralelogramul


       Def. Patrulaterul care are laturile opuse paralele se numeste parallelogram.


       A        B


       O



       C

       D

       Proprietati : Laturi : Laturile opuse intr-un paralelogram sunt congruente.

                         Unghiuri : Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente iar unghiurile alaturate sunt suplemetare.

                         Diagonale : Intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc.

       Reciproce : Laturi : Daca un patrulater are laturile opuse congruente atunci el este paralelogram.

                        Laturi : Daca un patrulater are o pereche de laturi opuse congruente atunci patrulaterul este paralelogram.

                        Unghiuri : Daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente atunci patrulaterul este paralelogram

                        Diagonale : Daca intr-un patrulater diagonalele se injumatatesc atunci patrulaterul este paralelogram


Paralelograme particulare. Dreptunghiul


       Def. : Dreptunghiul : este paralelogramul care are un unghi drept.


       A        B







       D        C


       Proprietati: 1. Dreptunghiul are toate unghiurile drepte.

Specifica                 2. Intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente.

       Reciproce : 1. Daca un paralelogram are diagonalele congruente atunci el este dreptunghi.

       Obs. Dreptunghiul fiind un paralelogram are toate proprietatile paralelogramului


Rombul


       Def. Este paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente.

       P. : Toate laturile rombului sunt congruente.

       Obs. : Rombul fiind un paralelogram are toate proprietatile paralelogramului

       Proprietati specifice rombului: 1. Diagonalele intr-un romb sunt perpendiculare.

                                                    2. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor din care pornesc.

       Reciproce : 1. Daca intr-un parallelogram toate laturile sunt congruente atunci el este romb.

                        2. Daca intr-un parallelogram diagonalele sunt perpendiculare atunci el este romb.

                        3. Daca intr-un parallelogram diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor din care pornesc atunci el este romb.


Patratul

       Def. 1. Este rombul cu un unghi drept.

               2. Este dreptunghiul cu 2 laturi consecutive congruente.

               3. Este paralelogramul care este si dreptunghi si romb.

       Proprietati : Unghiuri- Patratul are unghiurile drepte.

                         Laturi Patratul are toate laturile egale.

                         Diagonale : Diagonalele sunt: - injumatatite (paralelogramul)

  • congruente (dreptunghi)
  • perpendiculare           romb
  • bisectoare

       A        D






       B        C