| Referate | Director web | Adauga link | Contact |




Functii


CUPRINS



                                                                                     Pag.

Capitolul 1. Noţiuni generale despre funcţii

                                                                       

Noţiunea de funcţie ……………………………………………… 2

Graficul unei funcţii ………………………………………………5

Paritatea funcţiilor ……………………………………………….. 5

Monotonia funcţiilor ……………………………….…………….. 6

Valori extreme ale unei funcţii.  Funcţie mărginită ……………….7

Bijectivitate ………………………………………………………. 9

Inversabilitate ……………………………………………………..9

Operaţii cu funcţii ………………………………………………. 10

Compunerea funcţiilor …………………………………………... 11



Capitolul 2.  Funcţii particulare


Funcţia de gradul I ……………………………………………… 13

Funcţia de gradul al doilea ……………………………………… 14

Alte funcţii numerice …………………………………………… 15

Funcţia exponenţială ……………………………………………. 17

Funcţia logaritmică ……………………………………………... 18

Funcţia trigonometrică directă ………………………………….. 19

Funcţia trigonometrică inversă ………………………………….. 21







FUNCŢII




       DEFINIŢIE.  NOTAŢIE.















Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie a funcţiei ƒ.

            B se numeşte mulţimea în care funcţia ia valori sau codomeniul funcţiei ƒ.

Dacă ƒ este o funcţie de la A la B, atunci se mai spune că ƒ este o aplicaţie de la A la B.

De obicei funcţiile se notează cu litere mici ƒ, g, h, …

Mulţimea funcţiilor de la A la B se notează cu F (A, B).  








               MODURI DE A DEFINI O FUNCŢIE.


       Indiferent de modul în care este definită o funcţie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizează:  domeniul de definiţie, codomeniul şi legea de corespondenţă.


1.  FUNCŢII DEFINITE SINTETIC  corespund acelor funcţii f : A B pentru care se indică fiecărui element x din A elementul y = f (x) din B.

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeţi, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou.

Acest mod de a defini o funcţie se utilizează când A este o mulţime finită.


EXEMPLE.  1)  Fie f : {1, 2, 3} {a,b}  definită prin f (1) = f (2) = a, f (3) = b.

În diagrama cu săgeţi sunt reprezentate mulţimile prin diagrame, iar legea de corespondenţă

                               prin săgeţi.

       A             B                Faptul că fiecărui element x din A îi corespunde un unic

Element y = f (x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeţi că           din fiecare element din A pleacă o singură săgeată.

Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenţă                                                                                                          înseamnă că într-un astfel de element pot ajunge una, mai multe         săgeţi sau niciuna.


Aceeaşi funcţie o putem defini utilizănd tabelul de valori.

Acesta este format din două linii.  În prima linie se trec elemetele mulţimii pe care este definită funcţia, iar în a doua linie valorile funcţiei în aceste elemente.

Pentru cazul analizat tabelul arată astfel:

               x                1        2        3

                                        

        y = f (x)                a        a        b

2)  Funcţia ƒ : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definită prin ƒ(1) = 3, ƒ(2) = 1, ƒ(3) = 4, ƒ(4) = 2 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în rpima linie avem domeniul de definiţie,

                                                                              

                         1    2    3    4                         

               ƒ  =

                         3    1    4    2


iar în linia a doua sunt valorile funcţiei în punctele domeniului (3 este valoarea lui ƒ în x = 1, 1 este valoarea lui ƒ în x = 2, etc.).  O astfel de funcţie se numeşte permutare de gradul patru.

OBSERVAŢIE.  Nu putem defini sintetic o funcţie al cărui domeniu de definiţie are o infinitate de elemente.


2.  FUNCŢII DEFINITE ANALITIC.  Funcţiile ƒ : A B definite cu ajutorul unei (unor) formule sau a unor proprietăţi sunt funcţii definite analitic.  Corespondenţa ƒ leagă între ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa ƒ(x).


EXEMPLE.  1)  Fie funcţia ƒ : R R, ƒ(x) = x2.  Această funcţie asociază fiecărui număr real x patratul lui, x2.

  1. Funcţia ƒ : Z Z, ƒ(x) =    x  - 1, dacă x este par

              x + 1, dacă x este impar,

este exemplu de funcţie definită prin două formule.

Funcţiile definite prin mai multe formule se numesc funcţii multiforme.

OBSERVAŢIE.  În cazul funcţiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o anumită submulţime a lui A şi deci două formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia şi aceluiaş element.


Cea mai frecventă reprezentare a unei funcţii în matematică este printr-o formulă.  În acest caz, elementele domeniului de definiţie şi ale domeniului valorilor nu pot fi decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunzătoare.

De exemplu: y = 3x 2. 

Când asupra domeniului de definiţie nu s-au făcut ipoteze speciale, se consideră ca făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora din formula respectivă li se pune în corespondenţă o anumită valoare.

În cazul funcţiei y = 3x 2, domeniul de definiţie este alcătuit din mulţimea numerelor reale.







IMAGINEA UNEI FUNCŢII.  PREIMAGINEA UNEI FUNCŢII.


Fie ƒ : A B.  Din definiţia funcţiei, fiecărui element x A I se asociază prin funcţia ƒ un unic element ƒ(x) B, numit imaginea lui x prin ƒ sau valoarea funcţiei ƒ în x.










EXEMPLE.  Considerăm funcţia ƒ : {1, 2, 3, 4} {a,b,c,d} dată prin diagrama cu săgeţi.

                                       

                                       Fie A = {1, 2, 3}.

Atunci ƒ(A) = {ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3)} = {a,c}


       A                B

       







EXEMPLE.  În funcţia ƒ : {-1, 0, 1, 2} {a, b, c, d, e} definită cu ajutorul diagramei cu săgeţi.

Atunci Imƒ = {ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2)} = {a, b, c} B.


                       






                                                                                 A                 B                                                                                        

EXEMPLE.  Se consideră funcţia ƒ : {-1, 0, 1, 2} {1, 2, 3} definită prin diagrama cu        săgeţi.                                                                


În acest caz, ƒ-1({1}) = {0}, deoarece ƒ(0) = 1;

ƒ-1({2}) = {-1, 1} pentru că ƒ(-1) = ƒ(1) = 2;

ƒ-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece ƒ(-1) = 2, ƒ(0) = 1,

ƒ(1) = 2.


            A                   B

               


GRAFICUL UNEI FUNCŢII.






Se observă că Gƒ A x B.


EXEMPLE.  1)  Fie funcţia ƒ : A B, definită prin diagrama alăturată.


Graficul funcţiei ƒ este mulţimea

Gƒ = {(1, a), (2, a), (3, b)}.

                                                        A             B

  1. Fie funcţia numerică ƒ : A B definită prin tabelul de valori.


x                -1        0        1        2                În acest caz, graficul lui ƒ este mulţimea

                                                                              Gƒ = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.

ƒ(x)         2        3          -2        0



REPREZENTAREA GRAFICÃ A UNEI FUNCŢII NUMERICE.

Dacă funcţia ƒ : A B este o funcţie numerică, atunci la produsul cartezian A x B   R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i  se poate asocia în planul în care se consideră un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având coordonatele x, y, componentele cuplului).  Cum mulţimea R x R se reprezintă geometric prin planul cartezian, se poate deduce că:  graficul funcţiei numerice se reprezintă geometric printr-o anumită submulţime a planului.  Această submulţime a planului se numeşte reprezentarea geometrică a graficului funcţiei.  Reprezentarea grafică a unei funcţii ƒ : A B este,

în general, o curbă, numită curba reprezentativă a funcţiei ƒ şi notată Cƒ = {M (x, y) |x A, y = ƒ(x)}.  Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcţii vom spune simplu graficul funcţiei ƒ.



EXEMPLE.  Funcţia ƒ : {-1, 0, 1} R, ƒ(x) = 2x

are graficul Gƒ = {(-1, -2), (0, 0), (1, 2)},

iar reprezentarea grafică este formată din trei puncte: 

A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2).



FUNCŢII PARE.  FUNCŢII IMPARE.








OBSERVAŢII.  ƒ pară Gf simetric faţă de Oy

  ƒ impară Gf simetric faţă de O (originea axelor).

MONOTONIA FUNCŢIILOR.


Fie ƒ : A R, o funcţie de variabilă reală şi I A.










O  funcţie ƒ strict crescătoare pe I sau strict descrescătoare pe I se numeşte strict monotonă pe I.










O  funcţie ƒ crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se numeşte monotonă pe I.

Dacă ƒ este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe tot domeniul de definiţie ) spunem simplu că funcţia ƒ este strict mnotonă (sau monotonă) fără a mai indica mulţimea.

A studia monotonia unei funcţii ƒ : A R revine la a preciza submulţimile lui A pe care ƒ este strict crescătoare (crescătoare) şi submulţimile lui A pe care ƒ este strict descrescătoare (descrescătoare).

Pentru studiul monotoniei unei funcţii numerice ƒ : A R, se utilizează raportul:

ƒ(x2) - ƒ(x1)         cu x1, x2 A, x1 x2, numit raportul de variaţie asociat

     x2 - x1             funcţiei ƒ şi numerelor x1, x2.

Diferenţa x2 x1 se numeşte variaţia argumentului, iar diferenţa ƒ(x2) - ƒ(x1) se numeşte variţia funcţiei.  Prin urmare raportul de variaţie asociat lui ƒ şi numerelor x1, x2 este raportul dintre variaţia funcţiei şi variaţia argumentului.


Are loc următoarea:
















VALORI EXTREME ALE UNEI FUNCŢII.  FUNCŢIE MÃRGINITÃ.


Fie funcţia numerică ƒ : A R, I A.

























                               Fig. 1                                                        Fig. 2

Valoarea maximă sau minimă a lui ƒ pe I se numeşte valoarea extremă a funcţiei pe I.

Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se numeşte punct de extrem pentru funcţia ƒ pe I.


EXEMPLE.   Funcţia ƒ definită prin tabelul de valori are valoarea maximă egală cu 8 şi se

                                                               atinge pentru  x = -6.  Deci  max ƒ = ƒ(-6)=

    x           -6           -4           -1           0           1           2       = 8.  Punctul  x = -6  este punct  de  maxim

ƒ(x)            8            3           -1          -5           0           1        pentru  funcţie.  Valoarea  minimă  a  lui  ƒ                                                                                                                                             

                                                               este egală cu 5 şi se obţine pentru x = 0. Deci min ƒ = ƒ(0) = -5.  Punctul x= 0 este punctul de minim al funcţiei.  În final, valorile extreme ale funcţiei sunt 5 şi 8, iar punctele de extrem sunt 0 şi respectiv 6.






       

       Semnificaţia geometrică a unei funcţii mărgintite este aceea că graficul funcţiei este cuprins între dreptele orizontale y  = m, y = M. (fig. 3)



                                       Fig.  3

                       BIJECTIVITATE

               FUNCTIA INJECTIVA

Aceasta ultima echivalenta va fi utilizata pentru a proba ca o functie este injective.

Pe diagrama cu sageti o functie este injective daca in fiecare element al codomeniului ajunge cel mult o sageata.

Utilizand graficul unei functii, se poate stabili daca functia este injective ducand prin fiecare punct al codomeniului o paralela la axa Ox.  Daca aceasta taie graficul in cel mult un punct, functia este injective.

Pentru a arata ca o functie ƒ: A B nu este injective este sufficient sa aratam ca exista doua elemente x1, x2 A, x1 x2 pntru care ƒ(x1) = ƒ(x2).


OBSERVAŢIE.  ƒ este injectiva ƒ(X Y) = ƒ(X) - ƒ(Y), X,Y A


EXEMPLU.  Să se arate că funcţia ƒ : R R, ƒ(x) = 3x este injectivă.  Fie x1, x2 R pentru care ƒ (x1)= ƒ (x2).  Avem achivalenţa 3x1=3x2, deci x1=x2, de unde rezultă că ƒ este injectivă.


               FUNCTIA SURJECTIVA






Din ultima echivalenta se deduce ca:





Pe diagrama cu sageti o funtie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata.

Graficul unei functii poate preciza daca functia este surjectiva.  Daca orice paralela la Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct.

O functie ƒ: A B nu este surjectiva daca exista y B astfel incat x A, ƒ (x) y.

EXEMPLU.  Funcţia ƒ : R R, ƒ(x) = 3x este surjectivă, deoarece y R, x R a.î. ƒ(x) = y 3x= y x= y/3.

               FUNCTIA BIJECTIVA









Pe diagrama cu sageti o functi este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact o sageata.  Se mai spune despre functia bijectiva ca este o corespondenta “one to one” (“unu la unu”).

O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la ax Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in exact un punct.

EXEMPLU.  Functia ƒ: R R , ƒ(x) = 3x este bijectiva.


INVERSABILITATE

               FUNCTIA INVERSA

Daca ƒ: A B este bijectiva, atunci pentru orice element y B exista exact un element x din A astfel incat ƒ(x) = y, ceea ce inseamna ca x = ƒ-1 (y) (adica preimaginea elementului y este elementul x).











OBSERVAŢII.  1) Sa remarcam ca functia ƒ-1: B A exista daca ƒ: A B este bijectiva.

2) Functia ƒ-1  are ca domeniu de definitie codomeniul functiei directe, iar  drept codomeniu, domeniul de definitie al functiei directe.

3) Daca  ƒ este bijectiva, atunci ƒ-1  este bijectiva si avem (ƒ-1 ) -1 = ƒ.

4) Pentru a construi diagrama cu sageti a lui ƒ-1  , schimbam sensul sagetilor de pe diagrama cu sageti a lui ƒ. (Se spune ca ƒ-1  actioneaza “invers” decat ƒ .)   Schema de “functionare”  a lui ƒ si ƒ-1   este redata mai jos.


 

                          x A                                                    B ? y




  1. Nu conteaza cum se noteaza argumentul lui ƒ-1 . De aceea, vom prefera pe x in locul lui y.

                       



                       OPERATII CU FUNCTII






EXEMPLU.  ƒ : Z R, ƒ(x) = 3x+1










OBSERVAŢII. 1) Se defineste produdul dintre un numar real α si o functie ƒ : A   R, ca fiind functia αƒ : A R, (αƒ ) (x) = αƒ (x), x A.

2) Daca ƒ , g : A   R,atunci definim diferenta dintre functia ƒ si functia  g ca fiind functia ƒ - g: A R, (ƒ - g ) (x) = ƒ(x) g (x), x A. De fapt , diferenta ƒ - este suma ƒ + (-g), unde g = (-1) g.


EXEMPLU.  Fie ƒ, g : R R, ƒ(x) = 3x+1, g(x) = -x +3.  Atunci ƒ + g, ƒ - g, ƒg : R R prin (ƒ + g )(x) = ƒ (x) + g(x) = 3x + 1 x +3 = 2x + 4.  (ƒ - g)(x) = ƒ(x) g(x) = 3x+1 x 3 = 4x 2.  (ƒg)(x) = ƒ(x)g(x) = (3x + 1)(-3 + 1) = -3x2+8x+3.


PROPRIETATI ALE ADUNARII FUNCTIILOR

Fie (A, R)  multimea functiilor definite pe A cu valori in R.  Atunci are loc urmatoarea:











PROPRIETATI ALE INMULTIRII FUNCTIILOR














COMPUNEREA FUNCŢIILOR.


O altă operaţie care se poate efectua asupra a două funcţii este cea de compunere.  Die ƒ : A B,  g : B C,  două funcţi cu următoarea particularitate: codomeniul lui ƒ este egal cu domeniul lui g.  Cu ajutorul acestor funcţii se poate construi o altă funcţie h : A C.  Funcţia h astfel definită se notează gοƒ (citim “g compus cu ƒ”)  şi reprezintă compunerea funcţiei g cu ƒ (în această ordine).  Funcţia goƒ are domeniul lui ƒ (prima funcţie care acţionează în această compunere) şi codomeniul lui g (ultima care acţionează în compunere). 







OBSERVAŢII.  1) Funcţia compusă goƒ a două funcţii ƒ, g nu poate fi definită decât dacă codomeniul lui ƒ coincide cu domeniul de definiţie a lui g.

  1. Dacă ƒ : A B, g : B A, atunci are sens  fog şi gof.  În general însă gof fog.


PROPRIETÃŢI ALE COMPUNERII FUNCŢIILOR.

  1. Asociativitatea

ƒ, g , h avem fo(goh) = (fog)oh

  1. Comutativitatea

   ƒ, g a.î. ƒog goƒ

  1. Element neutru

   o funcţie 1A a.î. ƒ avem ƒo1A = 1Aoƒ = ƒ;  1A : A A; 1A(x) = x (funcţie identică)

  1. Elemente simetrizabile

Nu toate funcţiile admit inverse!

Funcţia inversă:  ƒ : A B,  g : B C;   g s.n inversa lui ƒ dacă fog = 1B; goƒ = 1A(notaţie:  g = ƒ-1)

Proprietăti:

  1. g = ƒ-1 (goƒ)(x) = x  (ƒog)(x) = x;
  2. ƒ-1(ƒ(x)) = x x A

      ƒ(ƒ-1(x)) = x x B;

  1. ƒ inversabilă ƒ injecţie



































































FUNCŢII PARTICULARE


FUNCŢIA DE GRADUL I

ƒ : R R, ƒ(x) = ax + b,  a, b R











OBSERVAŢIE.   Funcţia de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienţii a,bR


MONOTONIA FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI






OBSERVAŢII.  1.  Semnul lui a precizează monotonia funcţiei de gradul întâi.

2.  Ecuaţia y = ax + b reprezintă o pantă a 0 (o dreapă obligă neparalelă cu axa Ox sau cu axa Oy).


SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI














GRAFICUL FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI

Graficul funcţiei de gradul întâi este o dreaptă oblică de ecuaţie y = ax + b. Pentru trasarea unei drepte sunt necesare două puncte care aparţin graficului. 


BIJECTIVITATEA ŞI INVERSABILITATEA FUNCŢIEI DE GRADUL ÎNTÂI.  COMPUNEREA FUNCŢIILOR DE GRADUL ÎNTÂI.





                       FUNCŢIA DE GRADUL AL DOILEA.

ƒ : R R , ƒ(x) = ax2 + bx + c,  a, b, c R, a 0.











ORSERVAŢII.  1.  Funcţia de gradul al doilea este bine determinată dacă se cunosc coeficienţii a 0, b, c.

  1. Condiţia a 0 este esenţială în definiţia funcţiei deoarece dacă a = 0 se obţine ecuaţia afină.
  2. Cum domeniul şi codomeniul lui ƒ coincid cu R, funcţia de gradul al doilea este o funcţie numerică.  În loc de ƒ(x) = ax2 + bx + c vom scrie y = ax2 + bx + c.


MONOTONIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA




















SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA.





















                       ALTE FUNCŢII NUMERICE.

       

               FUNCŢIA PUTERE CU EXPONENT NATURAL.

               



PROPRIEŢÃŢI.












               FUNCŢIA RADICAL.






PROPRIETÃŢI.
















               FUNCŢIA ƒ : R R*, ƒ(x) = 1/x .









               FUNCŢIA OMOGRAFICÃ.




PROPRIETÃŢI.












               FUNCŢIA MODUL.




PROPRIETÃŢI.








               FUNCŢIA PARTE ÎNTREAGÃ ŞI PARTE FRACŢIONARÃ.









                       FUNCŢIA EXPONENŢIALÃ.






OBSERVAŢII.  !.  Baza a este diferită de 1 pentru că în caz contrar ƒ(x) = 1x = 1 este considerată constantă şi nu este considerată ca o funcţie exponenţială.

  1. A nu se confunda funcţia exponenţiala ƒ(x) = ax, a>0, a 1 cu functia g(x) = xa, xR.  Pentru prima funcţie a este baza puterii ax care este constanta, in timp ce pentru a doua funcţie a este exponentul puterii axa care este constant.


GRAFICUL FUNCŢIEI EXPONENŢIALE.

Graficul funcţiei exopnenţiale se trasează în două cazuri:

  1. Baza a (0, 1) (spunem că baza este subunitară).  În acest caz graficul funcţiei este situat deasupra axei Ox şi intersectează axa Oy în (0, 1).  Graficul funcţiei exponenţiale cu bază subunitară este din ce în ce mai apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mică.
  2. Baza a > 1 (spunem că baza este supraunitară). În acest caz graficul funcţiei este situat deasupra axei Ox şi intersectează axa Oy în (0, 1).  Graficul funcţiei exponenţiale cu bază subunitară este din ce în ce mai apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mare.


PROPRIETÃŢI ALE FUNCŢIEI EXPONENŢIALE.





OBSERVAŢII.  ƒ(x1 x2) = ƒ(x1) / ƒ(x2);       ƒ(cx1) = (ƒ(x1))c









OBSERVAŢIE.  Pentru a > 1, ax1 < ax2 x1 < x2;       Pentru 0 < a < 1, ax1 < ax2 x1 > x2.









               







                       FUNCŢIA LOGARITMICÃ.






OBSERVAŢII.  1.  Nu se poate defini logaritmul unui număr real negativ x, deoarece ay > 0,    y R.

  1. alogax = x (identitatea logaritmică fundamentală.)





GRAFICUL FUNCŢIEI LOGARITMICE.

Graficul funcţiei logaritmice se trasează în două cazuri:

  1. Baza a (0, 1) (spunem că baza este subunitară).  În acest caz graficul funcţiei intersectează axa Ox în punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, în raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) în care graficul funcţiei exponenţiale intersectează axa Oy. Graficul funcţiei logaritmice cu bază subunitară este din ce în ce mai apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mică.
  2. Baza a > 1 (spunem că baza este supraunitară).  În acest caz graficul funcţiei intersectează axa Ox în punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, în raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) în care graficul funcţiei exponenţiale intersectează axa Oy.


PROPRIETÃTI ALE FUNCŢIEI LOGARITMICE.





OBSERVAŢII.  g(x1 / x2) = g(x1) g(x2), x1, x2 > 0;   ƒ(x1α) = αƒ(x1), x1 > 0.







OBSERVAŢIE.  Din faptul că g este bijectivă avem echivalenţa: logax = logay x = y.






OBSERVAŢIE.  Pentru a > 1, logax1 < logax2 x1 < x2

                         Pentru 0 < a< 1, logax1 < logax2 x1 > x2.








FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE.


FUNCŢIE PERIODICÃ









EXEMPLU.  Funcţia ƒ : R R, ƒ(x) =      1, x Z                       este periodică, de perioadă                                                       0, x R Z               principală T* = 1


               FUNCŢIILE SINUS ŞI COSINUS.

















PROPRIETÃŢI ALE FUNCŢIILOR SINUS ŞI COSINUS.



































       FUNCŢIA TANGENTÃ ŞI COTANGENTÃ.







PROPRIETÃŢI ALE FUNCŢIILOR TANGENTÃ ŞI COTANGENTÃ.






























FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE.


FUNCŢIA ARCSIN.




PROPRIETÃŢI.




















FUNCŢIA ARCCOS.




PROPRIETÃŢI.























FUNCŢIA ARCTG.





PROPRIETÃŢI.



















FUNCŢIA ARCCTG.





PROPRIETÃŢI.


























Bibliografie:



  1. “Matematică, manual pentru clasa a-IX-a, profil M1, M2”, autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2000.
  2. “Matematică, manual pentru clasa a-X-a algebră, profil M1”, autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2001.
  3. Materie predată de domnul profesor, Cristian Alexandrescu în anii şcolari 2000 2001 şi  2001 2002